线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找目标函数的最大值或最小值。这种方法广泛应用于经济、管理、工程等领域，以解决资源分配问题。本文将通过一个具体的例子来说明如何解决线性规划问题，并提供详细的解答过程。

例题：

某工厂生产两种产品A和B，每种产品的利润分别为5元和4元。生产每单位产品A需要2小时的人工时间和3单位的原材料；生产每单位产品B需要1小时的人工时间和2单位的原材料。工厂每天可投入的人工时间不超过12小时，原材料总量不超过18单位。问工厂应该如何安排生产计划才能使每日总利润最大？

解答步骤：

1. 定义决策变量

设x为每天生产的A产品数量，y为每天生产的B产品数量。

2. 确立目标函数

工厂的目标是最大化总利润，因此目标函数为：

\[ Z = 5x + 4y \]

3. 列出约束条件

根据题目提供的信息，可以列出以下约束条件：

- 人工时间限制：\( 2x + y \leq 12 \)

- 原材料限制：\( 3x + 2y \leq 18 \)

- 非负性约束：\( x \geq 0, y \geq 0 \)

4. 绘制可行域

在坐标平面上绘制上述不等式所表示的区域，找出所有满足约束条件的点组成的可行域。

5. 求解最优解

在可行域内找到目标函数 \( Z = 5x + 4y \) 的最大值。可以通过代入可行域的顶点进行计算，或者使用图形法直观观察。

经过计算，发现当 \( x = 4 \), \( y = 2 \) 时，目标函数取得最大值：

\[ Z_{\text{max}} = 5(4) + 4(2) = 20 + 8 = 28 \]

结论

为了实现每日总利润的最大化，工厂应每天生产4单位的产品A和2单位的产品B，这样可以获得最大的日利润28元。

希望这个例子能够帮助你更好地理解线性规划的应用及其解题思路！如果有更多问题，欢迎继续探讨。