在数学分析中，区间套定理是一个重要的基本定理，它描述了实数轴上的有界闭区间序列具有某些特定性质时的极限行为。这个定理不仅在理论上有重要意义，在实际应用中也经常被用来解决一些复杂的问题。

假设我们有一列闭区间 \( I_n = [a_n, b_n] \)，满足以下条件：

1. 每个区间 \( I_n \) 都是前一个区间的子集，即 \( I_{n+1} \subseteq I_n \)。

2. 区间长度趋于零，即 \( \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0 \)。

根据区间套定理，这样的区间序列必然存在唯一的公共点 \( c \)，即 \( c \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n \)。

证明：

首先，由于每个区间 \( I_n \) 都是闭区间，并且 \( I_{n+1} \subseteq I_n \)，所以序列 \( \{a_n\} \) 是单调递增的，而序列 \( \{b_n\} \) 是单调递减的。

1. 单调性和有界性：

- 序列 \( \{a_n\} \) 单调递增且有上界（因为所有 \( a_n \) 都包含在第一个区间内），因此 \( \{a_n\} \) 收敛到某个极限 \( A \)。

- 同样地，序列 \( \{b_n\} \) 单调递减且有下界，因此 \( \{b_n\} \) 收敛到某个极限 \( B \)。

2. 极限相等：

- 因为 \( b_n - a_n \to 0 \)，所以 \( A = B \)。设这个共同的极限为 \( c \)。

3. 唯一性：

- 对于任意 \( n \)，\( c \in [a_n, b_n] \)，因此 \( c \) 属于所有区间 \( I_n \) 的交集。

4. 唯一公共点：

- 假设还存在另一个点 \( d \neq c \) 也在所有区间 \( I_n \) 中，则 \( |d - c| > 0 \)，但当 \( n \) 足够大时，\( b_n - a_n < |d - c| \)，这与 \( d \in [a_n, b_n] \) 矛盾。因此，唯一公共点 \( c \) 存在。

综上所述，我们证明了区间套定理，即满足上述条件的区间序列必然存在唯一的公共点 \( c \)。

这一结论对于理解实数系的完备性以及后续许多分析学中的推论都至关重要。