在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的部分，它贯穿了整个数学课程，并且是解决许多实际问题的关键工具。对于高一的学生来说，掌握好函数的基本概念和解题技巧尤为重要。以下是一些经典的函数题目及其详细解答，希望能帮助同学们更好地理解和运用函数知识。

经典题目1：定义域与值域

题目：已知函数 \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4} \)，求其定义域和值域。

解答：

- 定义域：要使函数有意义，需满足根号内的表达式非负，即 \( x^2 - 4 \geq 0 \)。解得 \( x \leq -2 \) 或 \( x \geq 2 \)。因此，定义域为 \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)。

- 值域：由于 \( x^2 - 4 \geq 0 \)，所以 \( \sqrt{x^2 - 4} \geq 0 \)。当 \( x = \pm 2 \) 时， \( f(x) = 0 \)；当 \( |x| > 2 \) 时， \( f(x) > 0 \)。因此，值域为 \( [0, +\infty) \)。

经典题目2：复合函数

题目：已知函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 和 \( g(x) = x^2 - 1 \)，求复合函数 \( f(g(x)) \)。

解答：

将 \( g(x) \) 代入 \( f(x) \)，得到：

\[ f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 - 2 + 3 = 2x^2 + 1 \]

因此，复合函数 \( f(g(x)) = 2x^2 + 1 \)。

经典题目3：单调性判断

题目：判断函数 \( h(x) = \frac{1}{x+1} \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上的单调性。

解答：

计算导数 \( h'(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} \)。因为 \( (x+1)^2 > 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立，所以 \( h'(x) < 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立。因此，函数 \( h(x) \) 在区间 \( (0, +\infty) \) 上是严格递减的。

通过以上三个经典题目，我们可以看到函数学习中需要关注的核心点包括定义域、值域、复合函数以及函数的单调性等。希望这些题目能够帮助同学们更好地掌握函数的相关知识点。继续努力学习吧！