在数学领域中，三角函数是一类重要的基础工具，广泛应用于几何学、物理学以及工程学等多个学科。为了帮助大家更好地理解和应用这些公式，本文将对常见的三角公式进行系统的整理和总结，希望能为学习者提供一个清晰的参考框架。
一、基本定义与恒等式
三角函数通常基于直角三角形中的边长关系来定义，包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。以下是几个基本的定义：
- 正弦：$\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
- 余弦：$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
- 正切：$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
此外，还有一些重要的恒等式：
$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
$$
$$
\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta
$$
$$
1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
$$
二、加法与减法公式
三角函数的加法和减法公式是解决复杂问题的重要手段。以下是关键公式：
- 正弦加法公式：
$$
\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
$$
$$
\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
$$
- 余弦加法公式：
$$
\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
$$
$$
\cos(a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
$$
- 正切加法公式：
$$
\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
$$
$$
\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b}
$$
三、倍角与半角公式
倍角公式用于处理角度加倍的情况，而半角公式则适用于角度减半的情形。
- 倍角公式：
$$
\sin(2\theta) = 2\sin \theta \cos \theta
$$
$$
\cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta
$$
$$
\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}
$$
- 半角公式：
$$
\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}
$$
$$
\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}
$$
$$
\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}
$$
四、积化和差与和差化积公式
这些公式可以将乘积形式转化为和差形式，或者反之操作，极大地方便了计算。
- 积化和差公式：
$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]
$$
$$
\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) - \sin(A-B)]
$$
$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A+B) + \cos(A-B)]
$$
$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]
$$
- 和差化积公式：
$$
\sin A + \sin B = 2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}
$$
$$
\sin A - \sin B = 2\cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}
$$
$$
\cos A + \cos B = 2\cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}
$$
$$
\cos A - \cos B = -2\sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}
$$
五、三角函数的周期性与对称性
了解三角函数的基本性质有助于简化问题。例如：
- 正弦和余弦的周期均为 $2\pi$；
- 正切的周期为 $\pi$；
- 奇偶性：正弦是奇函数，余弦是偶函数。
通过以上分类归纳，我们可以更高效地掌握三角公式的精髓，并将其灵活运用于实际问题中。希望这份汇总能够成为你的学习伙伴，助你事半功倍！
