在概率论与统计学中，正态分布是一种非常重要的连续型概率分布，广泛应用于自然科学、社会科学以及工程领域。正态分布通常被称为高斯分布，其概率密度函数具有典型的钟形曲线特征。本文将深入探讨正态分布的期望值与方差，并介绍它们的计算方法。

什么是正态分布？

正态分布由两个参数决定：均值（期望）μ 和标准差 σ。这两个参数完全描述了正态分布的形状及其位置。具体来说，正态分布的概率密度函数为：

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]

其中：

- \( x \) 是随机变量的取值；

- \( \mu \) 表示正态分布的中心点或期望值；

- \( \sigma \) 是正态分布的标准差，衡量数据的离散程度。

正态分布的期望

正态分布的期望值就是它的均值 \( \mu \)。这意味着，正态分布以 \( \mu \) 为中心对称分布。例如，如果一个正态分布的均值为 10，则其期望值也是 10。

如何计算期望？

对于已知均值的正态分布，其期望可以直接从均值 \( \mu \) 中读取。如果需要通过样本数据估计正态分布的期望，则可以使用以下公式：

\[ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

其中，\( n \) 是样本数量，\( x_i \) 是每个样本的值。

正态分布的方差

正态分布的方差是标准差的平方，即 \( \sigma^2 \)。方差反映了数据围绕均值的波动程度。方差越大，数据越分散；反之，则越集中。

如何计算方差？

同样地，如果已知正态分布的标准差 \( \sigma \)，则可以直接得出方差 \( \sigma^2 \)。若需通过样本数据估计方差，则可采用以下公式：

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

这里，\( \bar{x} \) 是样本均值，\( n-1 \) 是自由度，用于无偏估计。

总结

正态分布的核心特性在于其均值 \( \mu \) 和标准差 \( \sigma \)，它们分别决定了分布的位置和尺度。通过上述公式，我们可以轻松计算出正态分布的期望值和方差。这些参数不仅帮助我们理解数据的集中趋势和离散程度，还为后续的数据分析提供了坚实的基础。

希望本文能够帮助读者更好地掌握正态分布的基本概念及其计算方法！