在学习最优化方法的过程中，我们经常会遇到各种类型的练习题，这些题目旨在帮助我们更好地理解理论知识并将其应用于实际问题中。下面是一些典型的练习题及其解答思路，供学习者参考。
例题一：线性规划问题
题目：
某工厂生产两种产品A和B，每种产品的生产需要占用不同的资源（如人力、材料等）。已知生产一件A产品需要3单位的人力和4单位的材料，生产一件B产品需要2单位的人力和5单位的材料。工厂每天可提供的总人力为24单位，总材料为30单位。每件A产品的利润是8元，每件B产品的利润是10元。问工厂如何安排生产才能使每日的总利润最大？
解答思路：
这是一个典型的线性规划问题。我们可以设x表示生产A产品的数量，y表示生产B产品的数量。目标是最小化成本或最大化利润，即：
\[ \text{Maximize } Z = 8x + 10y \]
约束条件为：
\[ 3x + 2y \leq 24 \] （人力限制）
\[ 4x + 5y \leq 30 \] （材料限制）
\[ x \geq 0, y \geq 0 \] （非负性）
通过画出可行域，并找到顶点坐标，计算每个顶点处的目标函数值，最终确定最优解。
例题二：无约束非线性优化
题目：
求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15 \) 的极值点，并判断其类型。
解答思路：
首先对函数求导得到一阶导数：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得两个驻点：
\[ x_1 = 1, x_2 = 3 \]
接着计算二阶导数：
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
分别代入两个驻点：
- 当 \( x = 1 \)，\( f''(1) = -6 < 0 \)，说明此处为极大值；
- 当 \( x = 3 \)，\( f''(3) = 6 > 0 \)，说明此处为极小值。
因此，\( x = 1 \) 是极大值点，\( x = 3 \) 是极小值点。
例题三：约束优化问题
题目：
考虑函数 \( f(x, y) = (x-1)^2 + (y-2)^2 \)，在约束条件 \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0 \) 下求最小值。
解答思路：
这是一个典型的拉格朗日乘子法问题。构造拉格朗日函数：
\[ L(x, y, \lambda) = (x-1)^2 + (y-2)^2 + \lambda(x^2 + y^2 - 4) \]
分别对 \( x, y, \lambda \) 求偏导数，并令其等于零：
\[ \frac{\partial L}{\partial x} = 2(x-1) + 2\lambda x = 0 \]
\[ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y-2) + 2\lambda y = 0 \]
\[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + y^2 - 4 = 0 \]
联立以上方程组，解出 \( x, y, \lambda \) 的值，即可找到满足约束条件下的最小值。
通过以上三个例子可以看出，最优化方法涵盖了多种类型的问题，包括线性规划、无约束非线性优化以及带约束的优化问题。掌握这些基本概念和解题技巧对于深入研究更复杂的优化模型至关重要。希望上述练习题能够帮助大家巩固所学知识！
