在高中数学的学习过程中，对数运算是一个重要的知识点，它不仅与指数函数密切相关，而且在解决实际问题中也有广泛应用。为了帮助学生更好地掌握这一部分内容，下面整理了一些典型的对数运算练习题，并附上详细的解答过程，便于理解和复习。

一、基础题型

1. 计算下列对数值：

（1）$\log_2 8$

（2）$\log_{10} 1000$

（3）$\log_5 25$

解答：

（1）$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

（2）$\log_{10} 1000 = \log_{10} 10^3 = 3$

（3）$\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$

二、性质应用题

2. 利用对数的性质化简下列表达式：

（1）$\log_3 9 + \log_3 27$

（2）$\log_4 64 - \log_4 16$

（3）$\log_2 (8 \times 16)$

解答：

（1）$\log_3 9 + \log_3 27 = \log_3 (9 \times 27) = \log_3 243 = \log_3 3^5 = 5$

（2）$\log_4 64 - \log_4 16 = \log_4 \left(\frac{64}{16}\right) = \log_4 4 = 1$

（3）$\log_2 (8 \times 16) = \log_2 128 = \log_2 2^7 = 7$

三、换底公式运用题

3. 用换底公式将以下对数转换为以10为底的对数形式：

（1）$\log_2 16$

（2）$\log_3 9$

（3）$\log_5 25$

解答：

（1）$\log_2 16 = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2}$

（2）$\log_3 9 = \frac{\log_{10} 9}{\log_{10} 3}$

（3）$\log_5 25 = \frac{\log_{10} 25}{\log_{10} 5}$

四、综合题

4. 已知 $\log_{10} 2 = 0.3010$，$\log_{10} 3 = 0.4771$，求：

（1）$\log_{10} 6$

（2）$\log_{10} 12$

（3）$\log_{10} 24$

解答：

（1）$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

（2）$\log_{10} 12 = \log_{10} (4 \times 3) = \log_{10} 4 + \log_{10} 3 = 2\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 2 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.0791$

（3）$\log_{10} 24 = \log_{10} (8 \times 3) = \log_{10} 8 + \log_{10} 3 = 3\log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 3 \times 0.3010 + 0.4771 = 1.3801$

五、拓展题

5. 解方程：

（1）$\log_2 x = 3$

（2）$\log_5 (x + 1) = 2$

（3）$\log_3 (2x - 1) = 1$

解答：

（1）$\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$

（2）$\log_5 (x + 1) = 2 \Rightarrow x + 1 = 5^2 = 25 \Rightarrow x = 24$

（3）$\log_3 (2x - 1) = 1 \Rightarrow 2x - 1 = 3^1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$

总结：

通过对数的基本概念、性质以及换底公式的灵活运用，可以解决多种类型的对数问题。建议同学们在学习过程中多做练习，理解每一步的推导逻辑，这样才能在考试中游刃有余。

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