【九年级上册数学《二次函数》单元测试题(含答案)】一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. $ y = 2x + 3 $
B. $ y = x^2 - 4 $
C. $ y = \frac{1}{x} $
D. $ y = 5 $
2. 抛物线 $ y = -2x^2 + 4x - 1 $ 的顶点坐标是（ ）
A. $ (1, 1) $
B. $ (1, -1) $
C. $ (-1, 1) $
D. $ (-1, -1) $
3. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象经过点 $ (0, 3) $，则 $ c $ 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 若抛物线的开口方向向下，则其二次项系数 $ a $ 满足（ ）
A. $ a > 0 $
B. $ a < 0 $
C. $ a = 0 $
D. 无法确定
5. 二次函数 $ y = x^2 - 6x + 8 $ 的对称轴是（ ）
A. $ x = 3 $
B. $ x = -3 $
C. $ x = 2 $
D. $ x = -2 $
6. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的解为（ ）
A. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
B. $ x = -2 $ 或 $ x = -3 $
C. $ x = 1 $ 或 $ x = 6 $
D. $ x = -1 $ 或 $ x = -6 $
7. 抛物线 $ y = x^2 - 4 $ 与 x 轴的交点个数是（ ）
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
8. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. $ a > 0 $，$ b > 0 $，$ c > 0 $
B. $ a > 0 $，$ b < 0 $，$ c > 0 $
C. $ a < 0 $，$ b > 0 $，$ c < 0 $
D. $ a < 0 $，$ b < 0 $，$ c > 0 $
9. 若抛物线 $ y = x^2 + 2x + m $ 与 x 轴只有一个交点，则 $ m $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10. 函数 $ y = -x^2 + 4x - 3 $ 的最大值是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（每小题4分，共20分）
11. 二次函数 $ y = 2x^2 - 4x + 1 $ 的顶点坐标是 __________。
12. 若抛物线 $ y = x^2 + bx + 3 $ 的对称轴为 $ x = -1 $，则 $ b = $ __________。
13. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的根为 __________。
14. 抛物线 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的开口方向是 __________。
15. 若二次函数的图像经过点 $ (1, 2) $、$ (2, 5) $ 和 $ (3, 10) $，则它的解析式为 __________。
三、解答题（共50分）
16. （10分）求抛物线 $ y = x^2 - 4x + 3 $ 的顶点坐标，并画出该抛物线的大致图像。
17. （10分）已知二次函数的图象过点 $ (0, 1) $、$ (1, 0) $ 和 $ (2, 3) $，求这个二次函数的解析式。
18. （10分）解方程：$ x^2 - 6x + 8 = 0 $，并写出其对应的函数图像与 x 轴的交点坐标。
19. （10分）某商品的利润 $ y $（元）与销售量 $ x $（件）之间的关系为 $ y = -x^2 + 10x - 16 $。
（1）求当销售量为多少时，利润最大？
（2）此时的最大利润是多少？
20. （10分）已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ (1, 2) $、$ (2, 3) $ 和 $ (3, 6) $，求该抛物线的解析式。
参考答案
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. B
5. A
6. A
7. C
8. B
9. A
10. C
二、填空题
11. $ (1, -1) $
12. $ -2 $
13. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
14. 向下
15. $ y = x^2 + 2x + 1 $
三、解答题
16. 顶点坐标为 $ (2, -1) $，图像大致为开口向上的抛物线，顶点在 $ (2, -1) $。
17. 解析式为 $ y = x^2 - 2x + 1 $
18. 解为 $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $，交点为 $ (2, 0) $、$ (4, 0) $
19. （1）销售量为 5 件；（2）最大利润为 9 元
20. 解析式为 $ y = x^2 - 2x + 3 $
