在学习信号与系统这门课程时，我们经常会遇到各种类型的习题。这些习题不仅帮助我们巩固课堂上学到的知识，还能让我们更好地理解信号处理的基本原理和系统分析的方法。下面是一些常见习题及其解答，希望能对大家有所帮助。
一、傅里叶变换习题
题目：
计算信号 \( x(t) = e^{-at}u(t) \) 的傅里叶变换，其中 \( u(t) \) 是单位阶跃函数，\( a > 0 \)。
解答：
根据傅里叶变换的定义：
\[
X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j2\pi ft} dt
\]
将 \( x(t) = e^{-at}u(t) \) 代入公式：
\[
X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-at}e^{-j2\pi ft} dt
\]
合并指数项：
\[
X(f) = \int_{0}^{\infty} e^{-(a+j2\pi f)t} dt
\]
这是一个标准的指数积分形式，其结果为：
\[
X(f) = \frac{1}{a + j2\pi f}
\]
二、拉普拉斯变换习题
题目：
求信号 \( y(t) = \sin(\omega t)u(t) \) 的单边拉普拉斯变换。
解答：
根据拉普拉斯变换的定义：
\[
Y(s) = \int_{0}^{\infty} y(t)e^{-st} dt
\]
将 \( y(t) = \sin(\omega t)u(t) \) 代入公式：
\[
Y(s) = \int_{0}^{\infty} \sin(\omega t)e^{-st} dt
\]
利用欧拉公式 \( \sin(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j} \)，可得：
\[
Y(s) = \frac{1}{2j} \left[ \int_{0}^{\infty} e^{(j\omega - s)t} dt - \int_{0}^{\infty} e^{(-j\omega - s)t} dt \right]
\]
这两个积分的结果分别为：
\[
\int_{0}^{\infty} e^{(j\omega - s)t} dt = \frac{1}{s - j\omega}, \quad \int_{0}^{\infty} e^{(-j\omega - s)t} dt = \frac{1}{s + j\omega}
\]
因此：
\[
Y(s) = \frac{1}{2j} \left( \frac{1}{s - j\omega} - \frac{1}{s + j\omega} \right)
\]
化简后得到：
\[
Y(s) = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}
\]
三、离散时间傅里叶变换习题
题目：
计算序列 \( x[n] = a^n u[n] \) 的离散时间傅里叶变换，其中 \( |a| < 1 \)。
解答：
根据离散时间傅里叶变换的定义：
\[
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}
\]
将 \( x[n] = a^n u[n] \) 代入公式：
\[
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} (a e^{-j\omega})^n
\]
这是一个无穷几何级数，其收敛条件为 \( |a e^{-j\omega}| < 1 \)，即 \( |a| < 1 \)。其和为：
\[
X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - ae^{-j\omega}}
\]
以上是几个典型的习题及解答，希望对大家的学习有所帮助。如果还有其他问题或需要进一步解释，请随时提问。
