在数学优化领域中，求解函数极值是一个经典问题。特别是在处理复杂的非线性函数时，传统方法可能会陷入局部最优解的问题。为了解决这一挑战，本文将介绍一种基于概率的全局优化技术——模拟退火算法，并结合MATLAB实现对二元函数极值的求解。
模拟退火算法简介
模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一种受自然界热力学过程启发的随机搜索算法。它通过引入一个随时间逐渐降低的温度参数来控制随机扰动的概率，从而在搜索过程中避免过早收敛到局部最优解。该算法的核心思想是接受比当前解更差的新解的概率随着温度的下降而减小，最终达到全局最优或接近全局最优的状态。
MATLAB实现步骤
1. 定义目标函数
首先需要定义一个具体的二元函数作为我们的目标函数。例如，可以选择以下形式：
\[ f(x, y) = (x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2 \]
这是一个典型的多峰函数，具有多个局部最小值点。
```matlab
function z = obj_func(x)
z = (x(1)^2 + x(2) - 11)^2 + (x(1) + x(2)^2 - 7)^2;
end
```
2. 初始化参数
设置初始温度 \( T_0 \)，冷却速率 \( r \)，最大迭代次数等关键参数。
```matlab
T0 = 1000; % 初始温度
r = 0.99; % 冷却速率
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
```
3. 随机初始化解
随机生成初始解 \( x_0 \)，并计算其对应的函数值。
```matlab
x_current = rand(2, 1); % 随机初始化解
f_current = obj_func(x_current);
```
4. 主循环
执行模拟退火的主要逻辑，包括生成新解、评估新解、决定是否接受新解以及调整温度。
```matlab
for iter = 1:max_iter
% 生成新解
x_new = x_current + randn(2, 1);
% 计算新解的目标函数值
f_new = obj_func(x_new);
% 计算能量差
delta_f = f_new - f_current;
if delta_f < 0 || exp(-delta_f / T0 (r^(iter-1))) > rand()
x_current = x_new;
f_current = f_new;
end
% 降低温度
T0 = T0 r;
end
```
5. 输出结果
最后输出找到的最佳解及其对应的目标函数值。
```matlab
disp(['Optimal solution: ', num2str(x_current')]);
disp(['Minimum value: ', num2str(f_current)]);
```
结论
通过上述步骤，我们可以利用MATLAB和模拟退火算法有效地求解二元函数的极值问题。这种方法不仅能够处理复杂的非线性函数，还能够在一定程度上克服传统优化方法容易陷入局部最优的问题。希望本文提供的代码示例能帮助读者更好地理解和应用这一强大的优化技术。
