在数学学习中，概率与统计是应用广泛、内容丰富的两个重要分支。无论是理工科学生还是经济、管理类专业的学生，掌握相关的公式和概念都是必不可少的。本文将系统地整理概率与统计中的核心公式，帮助大家高效复习、巩固知识。
一、概率论基础公式
1. 概率的基本定义
对于随机事件 $ A $，其发生的概率为：
$$
P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{所有可能结果数}}
$$
2. 加法公式
两事件 $ A $ 和 $ B $ 的并集的概率为：
$$
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
$$
3. 乘法公式
两事件 $ A $ 和 $ B $ 同时发生的概率为：
$$
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)
$$
4. 条件概率
在事件 $ A $ 已发生的条件下，事件 $ B $ 发生的概率为：
$$
P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \quad (P(A) > 0)
$$
5. 全概率公式
若事件 $ A_1, A_2, \dots, A_n $ 是一个完备事件组，则对任意事件 $ B $ 有：
$$
P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)
$$
6. 贝叶斯公式
用于计算后验概率：
$$
P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j) \cdot P(B|A_j)}
$$
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
- 概率质量函数（PMF）：$ P(X = x) $
- 常见分布：
- 二项分布：$ X \sim B(n, p) $，$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $
- 泊松分布：$ X \sim \text{Poisson}(\lambda) $，$ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $
- 几何分布：$ X \sim \text{Geo}(p) $，$ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $
2. 连续型随机变量
- 概率密度函数（PDF）：$ f(x) $
- 常见分布：
- 正态分布：$ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，密度函数为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
$$
- 均匀分布：$ X \sim U(a,b) $，密度函数为：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
三、期望与方差
1. 期望（均值）
- 离散型：$ E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) $
- 连续型：$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $
2. 方差
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
3. 协方差与相关系数
- 协方差：$ \text{Cov}(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $
- 相关系数：$ \rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} $
四、统计推断基础公式
1. 样本均值
$$
\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i
$$
2. 样本方差
$$
s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
$$
3. 中心极限定理
当样本容量 $ n $ 足够大时，样本均值近似服从正态分布：
$$
\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)
$$
4. 置信区间
- 总体均值 $ \mu $ 的置信区间（已知方差）：
$$
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$
- 未知方差时使用 t 分布：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
$$
5. 假设检验
- 原假设 $ H_0 $，备择假设 $ H_1 $
- 常用检验方法：Z 检验、t 检验、卡方检验、F 检验等
五、常用统计量与分布
- 卡方分布：常用于拟合优度检验和独立性检验。
- t 分布：适用于小样本情况下总体方差未知的假设检验。
- F 分布：用于比较两个样本方差或回归分析中的显著性检验。
六、总结
概率统计是一门理论与实际结合紧密的学科，掌握基本公式不仅有助于考试复习，也对数据分析、金融建模、工程优化等领域具有重要意义。建议在复习过程中结合例题进行练习，逐步提高解题能力与理解深度。
通过系统梳理这些公式，相信你能更清晰地把握概率统计的核心内容，为后续的学习和应用打下坚实基础。
