在数学中，微分方程是研究变化率与变量之间关系的重要工具。其中，二阶线性常系数齐次微分方程是一类非常常见的微分方程形式，广泛应用于物理、工程和经济学等领域。这类方程通常可以表示为：
$$
y'' + py' + qy = 0
$$
其中，$ p $ 和 $ q $ 是常数，$ y $ 是未知函数，$ y' $ 和 $ y'' $ 分别表示其一阶和二阶导数。
一、基本概念
所谓“二阶”，指的是方程中最高阶导数为二阶；“线性”意味着方程中的未知函数及其各阶导数都是一次项；“常系数”表示方程中的系数是固定的常数；“齐次”则表示方程右边为零，没有非齐次项。
这类方程的解法通常依赖于求解其特征方程，从而得到通解的形式。
二、特征方程的建立
对于方程：
$$
y'' + py' + qy = 0
$$
我们假设其解的形式为 $ y = e^{rt} $，其中 $ r $ 是待定常数。将该形式代入原方程中，可得：
$$
r^2 e^{rt} + p r e^{rt} + q e^{rt} = 0
$$
提取公因子 $ e^{rt} $（由于指数函数始终不为零），得到特征方程：
$$
r^2 + pr + q = 0
$$
这个二次方程的根决定了原微分方程的通解形式。
三、根据特征根的不同情况讨论解的结构
情况1：两个不同的实根 $ r_1 $ 和 $ r_2 $
若特征方程有两个不同的实根 $ r_1 \neq r_2 $，则原微分方程的通解为：
$$
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
$$
其中，$ C_1 $ 和 $ C_2 $ 是任意常数。
情况2：一个重根 $ r $（即判别式为零）
若特征方程有重根 $ r $，则通解为：
$$
y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{rt}
$$
这种情况下，解中引入了时间 $ t $ 的线性项以保持解的独立性。
情况3：一对共轭复根 $ \alpha \pm \beta i $
若特征方程的两个根为复数 $ \alpha \pm \beta i $，则通解为：
$$
y(t) = e^{\alpha t} (C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t))
$$
这种形式的解通常用于描述振荡系统，如弹簧-质量系统或电路中的交流响应。
四、应用举例
例如，考虑以下微分方程：
$$
y'' - 4y' + 4y = 0
$$
其特征方程为：
$$
r^2 - 4r + 4 = 0 \Rightarrow (r - 2)^2 = 0
$$
因此，有一个重根 $ r = 2 $，对应的通解为：
$$
y(t) = (C_1 + C_2 t) e^{2t}
$$
再如：
$$
y'' + 4y = 0
$$
其特征方程为：
$$
r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i
$$
所以通解为：
$$
y(t) = C_1 \cos(2t) + C_2 \sin(2t)
$$
五、总结
二阶线性常系数齐次微分方程的求解方法主要依赖于特征方程的根。根据根的不同类型（实根、重根、复根），可以得到相应的通解表达式。理解这些解的结构不仅有助于掌握微分方程的基本理论，也为实际问题的建模与分析提供了有力工具。
