【等差等比数列知识点总结和练习题(含答案)】在高中数学中，等差数列与等比数列是数列部分的重要内容，也是高考中的高频考点。掌握这两类数列的性质、公式以及应用方法，对于解决实际问题和提高数学成绩具有重要意义。本文将对等差数列与等比数列的基本知识进行系统梳理，并附上相关练习题及参考答案，帮助学生更好地理解和巩固所学内容。
一、等差数列
1. 定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个常数，这样的数列叫做等差数列。这个常数称为公差，记作 d。
2. 通项公式：
设首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
3. 前 $ n $ 项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]
$$
4. 性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m + a_n = a_p + a_q $
- 等差数列中，任意两项之间的差是公差的整数倍
二、等比数列
1. 定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是一个常数，这样的数列叫做等比数列。这个常数称为公比，记作 q。
2. 通项公式：
设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则第 $ n $ 项为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}
$$
3. 前 $ n $ 项和公式：
当 $ q \neq 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时，所有项相等，$ S_n = n \cdot a_1 $
4. 性质：
- 若 $ m + n = p + q $，则 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $
- 等比数列中，任意两项之间的商是公比的整数次幂
三、常见题型分析
题型1：已知首项和公差/公比，求某一项或前几项和
例题：已知等差数列的首项为 3，公差为 5，求第 8 项和前 5 项的和。
解：
- 第 8 项：$ a_8 = 3 + (8 - 1) \times 5 = 3 + 35 = 38 $
- 前 5 项和：$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 38) = \frac{5}{2} \times 41 = 102.5 $
题型2：已知某些项，求公差或公比
例题：已知等比数列中，第 2 项为 6，第 4 项为 54，求公比。
解：
- 设首项为 $ a_1 $，公比为 $ q $，则：
- $ a_2 = a_1 q = 6 $
- $ a_4 = a_1 q^3 = 54 $
- 由 $ a_1 q = 6 $ 得 $ a_1 = \frac{6}{q} $
- 代入第二个式子得：
$$
\frac{6}{q} \cdot q^3 = 54 \Rightarrow 6q^2 = 54 \Rightarrow q^2 = 9 \Rightarrow q = 3 \text{ 或 } q = -3
$$
四、练习题（含答案）
1. 已知等差数列的首项为 5，公差为 3，求第 10 项。
答案：$ a_{10} = 5 + (10 - 1) \times 3 = 5 + 27 = 32 $
2. 已知等比数列的首项为 2，公比为 4，求前 4 项的和。
答案：$ S_4 = 2 \cdot \frac{4^4 - 1}{4 - 1} = 2 \cdot \frac{256 - 1}{3} = 2 \cdot 85 = 170 $
3. 在等差数列中，若 $ a_3 = 10 $，$ a_5 = 16 $，求公差 $ d $ 和首项 $ a_1 $。
答案：
- $ a_3 = a_1 + 2d = 10 $
- $ a_5 = a_1 + 4d = 16 $
解得：$ d = 3 $，$ a_1 = 4 $
4. 在等比数列中，若 $ a_2 = 8 $，$ a_4 = 32 $，求公比 $ q $。
答案：$ q = 2 $
五、总结
等差数列和等比数列是数列学习的基础内容，理解其定义、通项公式和前 n 项和公式是关键。通过大量练习题的训练，可以提升解题速度和准确率。建议同学们在复习过程中注重公式推导过程，结合实际例子加深理解，从而在考试中灵活运用。
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