【1.1正弦定理和余弦定理习题课】在高中数学中，正弦定理与余弦定理是解三角形问题的重要工具。它们不仅能够帮助我们求解三角形的边长和角度，还能在实际生活中应用于测量、工程设计等多个领域。本节课将通过一系列典型例题，深入理解这两个定理的应用方法，并提升同学们的解题能力。
一、正弦定理的基本内容
正弦定理指出，在任意一个三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等，即：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中，$ a, b, c $ 分别为三角形的三边，$ A, B, C $ 为对应的三个角，$ R $ 为该三角形外接圆的半径。
适用情况：
- 已知两边及其夹角（SAS）
- 已知两角及一边（AAS 或 ASA）
- 已知两边及其一边的对角（SSA，可能有多种解）
二、余弦定理的基本内容
余弦定理则是用于已知两边及其夹角时求第三边，或已知三边求角的公式：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
同理可推出：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B
$$
适用情况：
- 已知三边（SSS）
- 已知两边及其夹角（SAS）
- 已知两边和其中一边的对角（SSA，需结合正弦定理使用）
三、典型例题解析
例题1：已知三角形中两边及其夹角，求第三边
设在△ABC中，已知 $ a = 5 $，$ b = 7 $，且角 $ C = 60^\circ $，求边 $ c $ 的长度。
解法：
利用余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ
$$
$$
= 25 + 49 - 70 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$
$$
c = \sqrt{39}
$$
例题2：已知三角形中两角及一边，求其他边
在△ABC中，已知 $ A = 45^\circ $，$ B = 60^\circ $，边 $ a = 4 $，求边 $ b $ 和 $ c $。
解法：
首先求出角 $ C $：
$$
C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
$$
利用正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}
$$
$$
\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}}
$$
$$
b = \frac{8 \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}
$$
同理可求得边 $ c $。
四、常见误区与注意事项
1. 注意角的单位：通常题目中给出的角度为度数，但有时也可能是弧度，务必确认。
2. 正弦定理的多解问题：当使用正弦定理求角时，可能会出现“钝角”或“锐角”的两种可能性，需结合图形判断。
3. 余弦定理的计算准确性：涉及平方和乘积运算时，容易出错，建议分步计算并检查结果。
五、总结
正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的核心工具，掌握它们的使用条件和应用场景，能够帮助我们在复杂的几何问题中快速找到解题思路。通过反复练习相关题目，可以进一步提高解题的准确性和效率。
希望同学们在今后的学习中，能够灵活运用这些定理，提升自己的数学思维能力。
